试题

题目：
青果学院（1998·江西）如图，在△ABC中，AC=BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于D．
求证：（1）BE=AE；
（2）
AB
AC
=
AE
DE
．
答案
青果学院证明：（1）∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA，
又∵E是内心，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∴BE=AE；

（2）∵∠BED=∠1+∠3，∠EDB=∠2+∠5，
又∵∠5=∠4，
∴∠BED=∠EDB，
∴BD=DE，
∴
BD
BC
=
DE
CA
，
又∵∠D=∠C
∴△ABC∽△EBD，
∴
AB
AC
=
BE
DE
，
∵BE=AE，
∴
AB
AC
=
AE
DE
．
青果学院证明：（1）∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA，
又∵E是内心，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∴BE=AE；

（2）∵∠BED=∠1+∠3，∠EDB=∠2+∠5，
又∵∠5=∠4，
∴∠BED=∠EDB，
∴BD=DE，
∴
BD
BC
=
DE
CA
，
又∵∠D=∠C
∴△ABC∽△EBD，
∴
AB
AC
=
BE
DE
，
∵BE=AE，
∴
AB
AC
=
AE
DE
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质．
（1）根据等边对等角可以证得∠CAB=∠CBA，然后根据内心的定义即可证得∠1=∠3，从而依据等角对等边即可证得；
（2）首先证明△BED是等腰三角形，然后证明△ABC∽△EBD，根据相似三角形的对应边的比相等，以及（1）的结论即可证得．
本题考查了三角形的内心的性质，以及等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△EBD是关键．
证明题；压轴题．
找相似题