试题

题目：
青果学院（2005·青岛）某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．
（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心P；
（2）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积．
答案
青果学院解：（1）要使花坛面积最大，因三角形为等边三角形，在△ABC内作一个内切圆，则此圆面积最大，点P为角平分线的交点．

（2）如图，Rt△BOD中，BD=9米，∠OBD=30°
∴tan30°=
OD
BD
，
∴OD=BD·tan30°=9×
3
3
=3
3
，青果学院
∴花坛面积为π·（3
3
）2=27π（米2）．
青果学院解：（1）要使花坛面积最大，因三角形为等边三角形，在△ABC内作一个内切圆，则此圆面积最大，点P为角平分线的交点．

（2）如图，Rt△BOD中，BD=9米，∠OBD=30°
∴tan30°=
OD
BD
，
∴OD=BD·tan30°=9×
3
3
=3
3
，青果学院
∴花坛面积为π·（3
3
）2=27π（米2）．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．
由题意可知三角形为正三角形，设计方案可根据内切圆性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆使圆形花坛面积最大，然后有圆的性质求出内切圆的半径，从而求出面积．
此题为设计性问题，其实质是考查正三角形及内切圆的性质，同时也考查了圆的性质和简单的计算．
作图题；综合题；压轴题．
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