试题

题目：
在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），则△AOB的内心与外心之间的距离是
5
2
5
2
．
答案
5
2

青果学院解：OB=4，OA=3，由勾股定理得：BA=5，
过中点M作MH⊥X轴于H，
根据三角形的中位线定理得：MH=
1
2
OB=2，
即M的纵坐标是2，
同理M的横坐标是1.5，
∴M（1.5，2），
连接QF、QE、QM，
∵圆Q是△AOB的内切圆，
∴BE=BD，AF=AD，
QE⊥OB，QF⊥OA，
∴∠QEO=∠QFO=∠EOF=90°，
∵QE=QF
∴四边形EQFO是正方形，
∴QE=QF=OE=OF，
∵OB=4，OA=3，
∴3-OE+4-OE=5，
OE=OF=1，
Q（1，1），
由勾股定理得：QM=
(1.5-1)2+(2-1)2
=
5
2
，
故答案为：
5
2
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；坐标与图形性质；勾股定理；三角形中位线定理；正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；切线长定理．
根据勾股定理求出AB，过中点M作MH⊥X轴于H，根据三角形的中位线求出M的坐标，连接QF、QE、QM，证正方形QEOF，推出QE=QF=OE=OF，根据切线长定理得到3-OE+4-OE=5，求出Q的坐标，根据勾股定理求出即可．
本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线，正方形的性质和判定，切线长定理，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
证明题．
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