试题

题目：
青果学院如图：⊙O内切于边长为2的等边△ABC，分别以A、B、C为圆心，1为半径画弧，则图中阴影部分面积为
5
6
π-
3
5
6
π-
3
．
答案
5
6
π-
3

青果学院解：过点A作AD⊥BC于D，圆心为点O，连接BO．
∵⊙O内切于边长为2的等边△ABC，分别以A、B、C为圆心，1为半径画弧，
∴A、O、D三点共线，BD=1，AB=2，
∴AD=
3
．
设DO=x，则BO=AO=
3
-x，
∴1+x2=（
3
-x）2，
解得：x=
3
3
，
∴S△ABC=
1
2
×BC×AD=
3
，
∴中间空白面积=S△ABC-3×
60π×12
360
=
3
-
π
2
，
S△ABC-S圆O=
3
-π×(
3
3
) 2=
3
-
π
3
，
∴图中阴影部分面积为：S△ABC-中间空白面积-四周空白面积=
3
-（
3
-
π
2
）-（
3
-
π
3
）=
5
6
π-
3
．
故答案为：
5
6
π-
3
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；扇形面积的计算．
首先求出△ABC的高以及三角形内切圆的半径，从而得出三角形的面积以及空白面积，从而得出阴影部分面积．
此题主要考查了三角形的内切圆与内心性质、等边三角形性质以及扇形面积公式等知识，根据已知求出空白面积是解决问题的关键．
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