试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为
3-
3
3
2
3-
3
3
2
．
答案
3-
3
3
2

青果学院解：作OF⊥ED于点F，
∵AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，
∴∠AOB=90°+
1
2
∠C，CO平分∠ACB，
又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，
∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE=30°，
∴FD=
3
2
，
tan30°=
FO
DF
=
FO
3
2
，
∴FO=
3
2
，OD=OE=
3
，
∴△ODE的周长为：2
3
+3，
∴△ODE的面积为：
1
2
×3×
3
2
=
3
3
4
，
∴△ODE的内切圆半径为
3
3
2
2
3
+3
=3-
3
3
2
．
故答案为：3-
3
3
2
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；圆内接四边形的性质．
根据角平分线定义和三角形的内角和定理，得∠AOB=90°+
1
2
∠C，再根据圆内接四边形的对角互补求得∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°．根据三角形的三条角平分线交于一点，则CO平分∠ACB，则OD=OE，∠OED=∠ODE=30°，根据三角形的内切圆的半径等于其面积2倍除以周长求解．
此题综合考查了角平分线定义、三角形的内角和定理、圆内接四边形的性质以及三角形内切圆的半径的计算方法．
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