试题

题目：
青果学院如图，直角△ABC中∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则△ABC的内切圆⊙O1的半径r1=
3
-1
3
-1
；若⊙O2与⊙O1、BC、AB分别相切，⊙O3与⊙O2、BC、AB分别相切…；按此规律，则⊙O2014的半径r2014=
3
-1
32013
3
-1
32013
．
答案
3
-1

3
-1
32013

解：（1）∵BC=2，∠C=90°，∠A=30°，
∴B（0，2），A（2
3
，0），
则SOO1B=
1
2
×OB×r1=r1，
SAO1O=
1
2
×AO×r1=
3
r1
SAO1B=
1
2
×AB×r1=2r1
SAOB=
1
2
×2×2
3
=2
3
；
∵SAOB=SOO1B+SAO1O+SAO1B=（3+
3
）r1=2
3
，
∴r1=
3
-1；

（2）根据题意得：R1=
3
-1，R2=
3
-1
3
，R3=
3
-1
32
…
∴Rn=
3
-1
3n-1
，
依此类推可得：R2014=
3
-1
32013
，
故答案为：
3
-1，
3
-1
32013
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
本题可将三角形ABO分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出⊙O2，⊙O3…的半径大小，找出规律即可．
本题考查的是三角形的性质，解此类题目时要根据题意列出不等式，适当地对图形进行分解，然后再解题．
规律型．
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