试题

题目：
青果学院已知，如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=
3
，BD=2
3
，求平分线AD的长，AB，AC的长，外接圆的面积，内切圆的面积．
答案
青果学院解：设AC的长为x，过D作DE垂直AB于点E，
则BC=BD+DC=3
3
，AB=
BC2+AC2
=
(3
3
)2+x2
=
27 +x2
，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∵Rt△BED∽Rt△BCA，
∴
DE
AC
=
BD
BA
，
即
3
x
=
2
3
27 +x2
·4x2=27+x2，
解得x=3或x=-3（不合题意舍去），
AD=
AC2+CD2
=
32+(
3
)2
=2
3
，
∴AB=
27 +32
=6，
显然可知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，
∴Rt△ABC外接圆的面积=π·32=9π，
Rt△ABC内切圆的半径=
BC·AC
AB+AC+BC
=
3
3
·3
6+3+3
3
=
3(
3
-1)
2
，
Rt△ABC内切圆的面积=π·(
3(
3
-1)
2
)2=（9-
9
3
2
）π．
答：平分线AD的长为2
3
，AB的长为6，AC的长3，外接圆的面积为9π，内切圆的面积是（9-
9
3
2
）π．
青果学院解：设AC的长为x，过D作DE垂直AB于点E，
则BC=BD+DC=3
3
，AB=
BC2+AC2
=
(3
3
)2+x2
=
27 +x2
，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∵Rt△BED∽Rt△BCA，
∴
DE
AC
=
BD
BA
，
即
3
x
=
2
3
27 +x2
·4x2=27+x2，
解得x=3或x=-3（不合题意舍去），
AD=
AC2+CD2
=
32+(
3
)2
=2
3
，
∴AB=
27 +32
=6，
显然可知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，
∴Rt△ABC外接圆的面积=π·32=9π，
Rt△ABC内切圆的半径=
BC·AC
AB+AC+BC
=
3
3
·3
6+3+3
3
=
3(
3
-1)
2
，
Rt△ABC内切圆的面积=π·(
3(
3
-1)
2
)2=（9-
9
3
2
）π．
答：平分线AD的长为2
3
，AB的长为6，AC的长3，外接圆的面积为9π，内切圆的面积是（9-
9
3
2
）π．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
首先设AC的长为x，过D作DE垂直AB于点E．根据角平分线的性质定理及相似三角形的性质，可得到关系式4x2=27+x2，解得x即为AC的长，再利用勾股定理求得AB、AD的长．根据直角三角形内切圆的性质、外接圆的性质，求得其半径，根据圆的面积计算公式即可求出结果．
本题考查三角形内切圆与内心、勾股定理、角平分线的性质、三角形外接圆与外心、相似三角形的性质．解决本题的关键是首先设AC为x，通过作辅助线DE建立起边间的关系，列出关系式4x2=27+x2，使问题得解．
几何图形问题．
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