试题

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，内切圆⊙O与三边分别切于点D，E，F．
（1）试说明四边形OECF为正方形；
（2）若AD=6，BD=4，求AC和⊙O的半径；
（3）若AB=c，BC=a，AC=b，试用关于a，b，c的代数式表示内切圆的半径r．

解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴四边形OECF为矩形，
∵OE=OF，
∴矩形OECF为正方形；

（2）设⊙O的半径为r，
∵四边形OECF为正方形，
∴CF=CE=r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF=AD=6，BE=BD=4，
∴AB=AD+BD=10，AC=6+r，BC=4+r，
在Rt△ABC中，AC²=BC²+AC²，
∴100=（6+r）²+（4+r）²，
解得：r₁=2，r₂=-12（舍去），
∴AC=2+6=8，
∴AC=8，⊙O的半径为2；

（3）∵设⊙O的半径为r，
∵四边形OECF为正方形，
∴CF=CE=r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF=AD=b-r，BE=BD=a-r，
∵AB=AD+BD，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

a+b-c

2

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解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴四边形OECF为矩形，
∵OE=OF，
∴矩形OECF为正方形；

（2）设⊙O的半径为r，
∵四边形OECF为正方形，
∴CF=CE=r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF=AD=6，BE=BD=4，
∴AB=AD+BD=10，AC=6+r，BC=4+r，
在Rt△ABC中，AC²=BC²+AC²，
∴100=（6+r）²+（4+r）²，
解得：r₁=2，r₂=-12（舍去），
∴AC=2+6=8，
∴AC=8，⊙O的半径为2；

（3）∵设⊙O的半径为r，
∵四边形OECF为正方形，
∴CF=CE=r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF=AD=b-r，BE=BD=a-r，
∵AB=AD+BD，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

a+b-c

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