试题

题目：
青果学院如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC-BC=
2
AI；
③AD=
2
（IM+
1
2
BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（　　）



答案
C
解：∵I为△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，
∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，
∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正确；
∵O在BC上，
∴∠BAC=90°，
∵I是△ABC的内心，
∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，
∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，
∴四边形QIHA是正方形，青果学院
∴IQ=AQ=AI=IH，
∴AC-IH+AB-IH=BC，
∴IH=
1
2
（AC+AB-BC），
由勾股定理得：AI=
2
IH，
∴②正确；
AD=AI+ID=
1
2
（AC+AB-BC）+
2
2
BC，
=
2
2
AC+
2
2
AB，
2
（IM+
1
2
BC）=
2
[
1
2
（AC+AB-BC）+
1
2
BC]=
2
2
AC+
2
2
AB，
∴③正确；
∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，
∴△EFI∽△CBI，
∴
S△BIC
S△EIF
=(
BC
EF
)2，
∵BC一定，
∴④错误；
故选C．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；三角形的外角性质；勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
根据内心的定义得到∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，求出∠EAD+∠AEF=90°即可判断①；求出三角形内切圆的半径是
1
2
（AC+AB-BC），根据勾股定理求出AI=
2
IH即可判断②；求出AD=AI+ID=
2
2
（AC+AB），求出
2
（IM+
1
2
BC）=
2
2
（AC+AB），即可判断③；根据相似三角形的性质即可判断④．
本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，相似三角形的性质，圆周角定理，切线长定理，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
证明题；压轴题．
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