试题

题目：
等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，△A1B1C1的各边与它的内切圆相切于A2，B2，C2，…，以此类推．若△ABC的面积为1，则△A5B5C5的面积为（　　）



答案
D
解：∵等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，设等边△ABC的内心为O，
∴点O也是等边△ABC的外心，
∴A1，B1，C1分别是△ABC各边的中点，
设等边△ABC的边长为a，则根据三角形中位线定理，得出△A1B1C1的边长为
1
2
a，
同理，等边△A2B2C2的边长为（
1
2
）2a，
…，
等边△A5B5C5的边长为（
1
2
）5a．
又∵△ABC∽△A5B5C5，△ABC的面积为1，
∴△ABC的面积：△A5B5C5的面积=[a：（
1
2
）5a]2，
∴△A5B5C5的面积=
1
210
．
故选D．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．
设等边△ABC的边长为a，则可得出△A1B1C1是等边三角形，且边长为
1
2
a，同理，得出等边△A2B2C2的边长为（
1
2
）2a，…，等边△A5B5C5的边长为（
1
2
）5a，由于所有的等边三角形都相似，所以根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△A5B5C5的面积．
此题综合运用了等边三角形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质，综合性较强，难度中等．
规律型．
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