试题

题目：
如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　）



答案
A
解：设直线DE平分△ABC的周长和面积，D，E分别在边AB和AC上，作∠A的平分线交DE于P，记P到AB，AC的距离为r，P到BC的距离为r1，于是依题意有
AD+AE=DB+BC+CE
r
2
(AD+AE)=
r
2
(DB+CE)+
r1
2
BC

解得r=r1，即P为△ABC的内心，
故选A．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
设直线DE平分△ABC的周长和面积，D，E分别在边AB和AC上，作∠A的平分线交DE于P，记P到AB，AC的距离为r，P到BC的距离为r1，得出方程组
AD+AE=DB+BC+CE
r
2
(AD+AE)=
r
2
(DB+CE)+
r1
2
BC
，解得r=r1，再选出答案即可．
本题考查了三角形的内切圆，此题难度较大．
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