试题

（2013·黄冈一模）如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（　　）个．
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；
②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．
A．1
B．2
C．3
D．4

C
解：①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°，根据圆周角定理直接得出即可，故此选项正确；
②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=115°，故此选项正确；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；
由题意，三角形的周长是16，由令AB=x，则AC=10-x，
由海伦公式可得三角形的面积
S=

8×(8-6)×(8-x)×[8-(10-x)]

=4

(8-x)(x-2)

≤4×

8-x+x-2

2

=12，
等号仅当8-x=x-2即x=5时成立，
故三角形的面积的最大值是12，故此选项正确；
④△ABC的面积是12，周长是16，设内切圆半径为x，则

1

2

x×16=12，
解得：r=1.5，
则其内切圆的半径是1，此选项错误．
故正确的有①②③共3个．
故选：C．