试题

题目：
青果学院已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=5，sinB=
1
2
，点D在OC的延长线上，OD⊥AB，∠CAD=30°，则AD=
5
3
5
3
；如果点M在⊙O内运动，则点M运动到△ABC内部的概率是
3
4π
3
4π
（不计△ABC，⊙O的边界）．
答案
5
3

3
4π

解：（1）设AB与OD交于点E．
根据垂径定理可知：C是
AB
的中点，有AC=BC．
Rt△BEC中：sinB=
1
2
，∠B=30°，BE=
5
3
2
，
Rt△AED中，∠EAD=60°，AD=2BE=5
3
；

（2）在（1）中，易得OC=OB=BC=5，⊙O的面积为25π，△ABC的面积为
1
2
AB·EC=
25
3
4
；故M运动到△ABC内部的概率是
25
3
4
25π
=
3
4π
．
考点梳理
几何概率；切线的性质；特殊角的三角函数值．
（1）根据垂径定理及∠CAD=30°，利用解直角三角形的知识求出AD的长；
（2）求出⊙O的面积为25π，△ABC的面积为
1
2
AB·EC=
25
3
4
，计算比值即可．
本题考查了对几何图形的分析，判断能力；同时考查了关于概率的计算．是一道综合了几何、代数的题目，有一定的难度．
动点型．
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