试题

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

a

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

5

，点B的坐标为（

1

2

，m），过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH=

1

2

HO．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

解：∵AH⊥x轴，且OA=

5

，AH=

1

2

HO
∴由勾股定理AO²=AH²+HO²，
可化为AO2=

1

4

HO2+HO2，
解得HO=2，AH=1，
∴A点坐标为A（-2，1），代入反比例函数的解析式y=

a

x

中，
得a=-2，
∴反比例函数的解析式为y=

-2

x

．
∵点B（

1

2

，m）在y=

-2

x

上，
∴B（

1

2

，-4）
把A（-2，1）、B（

1

2

，-4）代入y=kx+b，得

-2k+b=1 1 2 k+b=-4

，
解得

k=-2 b=-3

，
∴一次函数的解析式为y=-2x-3；

（2）y=-2x-3中，当y=0时，x=-

3

2

；
∴直线y=-2x-3和x轴的交点C点的坐标为C（-

3

2

，0）
∴OC=

3

2

∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×4=

15

4

．
解：∵AH⊥x轴，且OA=

5

，AH=

1

2

HO
∴由勾股定理AO²=AH²+HO²，
可化为AO2=

1

4

HO2+HO2，
解得HO=2，AH=1，
∴A点坐标为A（-2，1），代入反比例函数的解析式y=

a

x

中，
得a=-2，
∴反比例函数的解析式为y=

-2

x

．
∵点B（

1

2

，m）在y=

-2

x

上，
∴B（

1

2

，-4）
把A（-2，1）、B（

1

2

，-4）代入y=kx+b，得

-2k+b=1 1 2 k+b=-4

，
解得

k=-2 b=-3

，
∴一次函数的解析式为y=-2x-3；

（2）y=-2x-3中，当y=0时，x=-

3

2

；
∴直线y=-2x-3和x轴的交点C点的坐标为C（-

3

2

，0）
∴OC=

3

2

∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×4=

15

4

．