试题

如图，双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A、B两点，且点A的横坐标是8．
（1）求k的值；
（2）过点A作AC∥x轴交于点C，P是直线AC上的动点，过P作PD∥x轴交双曲线y=

k

x

于点D，若四边形PDOA的面积为20，求点P的坐标；
（3）若M、N是双曲线y=

k

x

上的点，且它们的横坐标分别是a，2a（a＞0），求△MON的面积．

解：（1）将x=8代入直线解析式得：y=

1

4

×8=2，
∴A（8，2），
则将A坐标代入反比例解析式得：2=

k

8

，即k=16；
（2）设点P坐标为（8，y），

当y＞2时，P在A的右侧，如图所示，
此时S_{四边形PDOA}=S_矩形PDOC-S_△AOC=8y-2×

1

2

k=8y-16=20，
解得：y=

9

2

；
当0≤y≤2时，不合题意，舍去；
当y＜0时，S_{四边形PDOA}=S_矩形PDOC+S_△AOC=8（-y）+2×

1

2

k=-8y+16=20，
解得：y=-

1

2

，
综上，P坐标为（8，

9

2

）或（8，-

1

2

）；
（3）由题意得：M（a，

16

a

），N（2a，

8

a

），
过M、N作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接OM，ON，MN，如图所示，

则S_△MON=S_△OME+S_梯形MEFN-S_△ONF=

1

2

×16+

1

2

×a（

16

a

+

8

a

）-

1

2

×16=12．
解：（1）将x=8代入直线解析式得：y=

1

4

×8=2，
∴A（8，2），
则将A坐标代入反比例解析式得：2=

k

8

，即k=16；
（2）设点P坐标为（8，y），

当y＞2时，P在A的右侧，如图所示，
此时S_{四边形PDOA}=S_矩形PDOC-S_△AOC=8y-2×

1

2

k=8y-16=20，
解得：y=

9

2

；
当0≤y≤2时，不合题意，舍去；
当y＜0时，S_{四边形PDOA}=S_矩形PDOC+S_△AOC=8（-y）+2×

1

2

k=-8y+16=20，
解得：y=-

1

2

，
综上，P坐标为（8，

9

2

）或（8，-

1

2

）；
（3）由题意得：M（a，

16

a

），N（2a，

8

a

），
过M、N作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接OM，ON，MN，如图所示，

则S_△MON=S_△OME+S_梯形MEFN-S_△ONF=

1

2

×16+

1

2

×a（

16

a

+

8

a

）-

1

2

×16=12．