试题

如图，已知直线y=

3

3

x与双曲线y=

k

x

交于A、B两点，且点A的横坐标为

3

．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y=

k

x

上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y=

k

x

上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．

解：（1）把点A的横坐标为

3

代入y=

3

3

x，∴其纵坐标为1，
把点（

3

，1）代入y=

k

x

，解得：k=

3

．

（2）∵双曲线y=

3

x

上点C的纵坐标为3，∴横坐标为

3

3

，
∴过A，C两点的直线方程为：y=kx+b，把点（

3

，1），（

3

3

，3），代入得：

1 = 3 k+b 3= 3 3 k+b

，
解得：

k=- 3 b=4

，
∴y=-

3

x+4，设y=-

3

x+4与x轴交点为D，
则D点坐标为（

4 3

3

，0），
∴△AOC的面积=S_△COD-S_△AOD=

1

2

×

4 3

3

×3-

1

2

×

4 3

3

×1=

4 3

3

．

（3）设P点坐标（a，

3

3

a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，
∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，P在直线y=

3

3

x上，
∴点M只能在y轴上，∴N点的横坐标为a，代入y=

3

x

，解得纵坐标为：

3

a

，
根据OP=NP，即得：|

2 3

3

a|=|

3

a

-

3

3

a|，
解得：a=±1．
故P点坐标为：（1，

3

3

）或（-1，-

3

3

）．
解：（1）把点A的横坐标为

3

代入y=

3

3

x，∴其纵坐标为1，
把点（

3

，1）代入y=

k

x

，解得：k=

3

．

（2）∵双曲线y=

3

x

上点C的纵坐标为3，∴横坐标为

3

3

，
∴过A，C两点的直线方程为：y=kx+b，把点（

3

，1），（

3

3

，3），代入得：

1 = 3 k+b 3= 3 3 k+b

，
解得：

k=- 3 b=4

，
∴y=-

3

x+4，设y=-

3

x+4与x轴交点为D，
则D点坐标为（

4 3

3

，0），
∴△AOC的面积=S_△COD-S_△AOD=

1

2

×

4 3

3

×3-

1

2

×

4 3

3

×1=

4 3

3

．

（3）设P点坐标（a，

3

3

a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，
∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，P在直线y=

3

3

x上，
∴点M只能在y轴上，∴N点的横坐标为a，代入y=

3

x

，解得纵坐标为：

3

a

，
根据OP=NP，即得：|

2 3

3

a|=|

3

a

-

3

3

a|，
解得：a=±1．
故P点坐标为：（1，

3

3

）或（-1，-

3

3

）．