试题

如图，一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=

k2

x

的图象交于A（2，m），B（n，-2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S_△ABC=5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）若P（p，y₁），Q（-2，y₂）是函数y=

k2

x

图象上的两点，且y₁≥y₂，求实数p的取值范围．
（3）若点M是y轴上满足|MA-MB|取最大值的点，求点M的坐标．

解：（1）把A（2，m），B（n，-2）代入y=

k2

x

，
得：k₂=2m=-2n，
即m=-n，
则A（2，-n），
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，
∵A（2，-n），B（n，-2），
∴BD=2-n，AD=-n+2，BC=|-2|=2，
∵S_△ABC=S_梯形BCAD-S_△BDA=5，
∴

1

2

×（2-n+2）×2-

1

2

×（2-n）×（-n+2），
解得：n=-3，
即A（2，3），B（-3，-2），
把A（2，3）代入y=

k2

x

，
得：k₂=6，
即反比例函数的解析式是y=

6

x

；
把A（2，3），B（-3，-2）代入y=k₁x+b得：

2k1+b=3 -3k1+b=-2

，
解得：

k1=1 b=1

，
即一次函数的解析式是y=x+1；

（2）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y₁≥y₂，实数p的取值范围是p≤-2，
当点P在第一象限时，要使y₁≥y₂，实数p的取值范围是p＞0，
即实数p的取值范围是p≤-2或p＞0；

（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，作直线A′B，交y轴于点M，连结MA，则MA=MA′，|MA-MB|=|MA′-MB|=AB最大．
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
将A′（-2，3），B（-3，-2）两点的坐标代入，
得

-2m+n=3 -3m+n=-2

，解得

m=5 n=13

，
∴直线A′B的解析式为y=5x+13，
当x=0时，y=13，
∴点M的坐标为（0，13）．
解：（1）把A（2，m），B（n，-2）代入y=

k2

x

，
得：k₂=2m=-2n，
即m=-n，
则A（2，-n），
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，
∵A（2，-n），B（n，-2），
∴BD=2-n，AD=-n+2，BC=|-2|=2，
∵S_△ABC=S_梯形BCAD-S_△BDA=5，
∴

1

2

×（2-n+2）×2-

1

2

×（2-n）×（-n+2），
解得：n=-3，
即A（2，3），B（-3，-2），
把A（2，3）代入y=

k2

x

，
得：k₂=6，
即反比例函数的解析式是y=

6

x

；
把A（2，3），B（-3，-2）代入y=k₁x+b得：

2k1+b=3 -3k1+b=-2

，
解得：

k1=1 b=1

，
即一次函数的解析式是y=x+1；

（2）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y₁≥y₂，实数p的取值范围是p≤-2，
当点P在第一象限时，要使y₁≥y₂，实数p的取值范围是p＞0，
即实数p的取值范围是p≤-2或p＞0；

（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，作直线A′B，交y轴于点M，连结MA，则MA=MA′，|MA-MB|=|MA′-MB|=AB最大．
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
将A′（-2，3），B（-3，-2）两点的坐标代入，
得

-2m+n=3 -3m+n=-2

，解得

m=5 n=13

，
∴直线A′B的解析式为y=5x+13，
当x=0时，y=13，
∴点M的坐标为（0，13）．