试题

如图，反比例函数y₁的图象与一次函数y₂的图象交于A，B两点，y₂的图象与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA=

5

，AD=

1

2

OD，点B的横坐标为

1

2

．
（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积．
（2）结合图象直接写出：当y₁＞y₂时，x的取值范围．

解：（1）如图，连接OB，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=

1

2

OD，即OD=2AD，
∵OD²+AD²=OA²，
∴4AD²+AD²=25，
解得AD=1，则OD=2，
∴A点坐标为（-2，1），
设y₁=

k

x

，把A（-2，1）代入得k=-2×1=-2，
∴反比例函数的解析式为y₁=-

2

x

，
把x=

1

2

代入得y=-

2

1 2

=-4，
∴B点坐标为（

1

2

，-4）
设直线AB的解析式为y₂=ax+b，
把A（-2，1）、B（

1

2

，-

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

4）代入得

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

，解得

a=-2 b=-3

，
∴直线AB的解析式为y₂=-2x-3；
把y=0代入y=-2x-3得x=-

3

2

，
∴C点坐标为（-

3

2

，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×4=

15

4

；
（2）当y₁＞y₂时，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞

1

2

．
解：（1）如图，连接OB，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=

1

2

OD，即OD=2AD，
∵OD²+AD²=OA²，
∴4AD²+AD²=25，
解得AD=1，则OD=2，
∴A点坐标为（-2，1），
设y₁=

k

x

，把A（-2，1）代入得k=-2×1=-2，
∴反比例函数的解析式为y₁=-

2

x

，
把x=

1

2

代入得y=-

2

1 2

=-4，
∴B点坐标为（

1

2

，-4）
设直线AB的解析式为y₂=ax+b，
把A（-2，1）、B（

1

2

，-

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

4）代入得

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

，解得

a=-2 b=-3

，
∴直线AB的解析式为y₂=-2x-3；
把y=0代入y=-2x-3得x=-

3

2

，
∴C点坐标为（-

3

2

，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×4=

15

4

；
（2）当y₁＞y₂时，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞

1

2

．