试题

（2011·泰安）如图，一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=

k2

x

的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵直线y=k₁x+b过A（0，-2），B（1，0）两点
∴

b=-2 k1+b=0

，
∴

b=-2 k1=2

∴一次函数的表达式为y=2x-2．（3分）
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S_△OBM=2，
∴

1

2

OB·MD=2，
∴

1

2

n=2
∴n=4（5分）
∴将M（m，4）代入y=2x-2得4=2m-2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线y=

k2

x

上，
∴4=

k2

3

，
∴k₂=12
∴反比例函数的表达式为y=

12

x

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=

OA

OB

=

2

1

=2（8分）
∴在Rt△PDM中，

PD

MD

=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）
解：（1）∵直线y=k₁x+b过A（0，-2），B（1，0）两点
∴

b=-2 k1+b=0

，
∴

b=-2 k1=2

∴一次函数的表达式为y=2x-2．（3分）
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S_△OBM=2，
∴

1

2

OB·MD=2，
∴

1

2

n=2
∴n=4（5分）
∴将M（m，4）代入y=2x-2得4=2m-2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线y=

k2

x

上，
∴4=

k2

3

，
∴k₂=12
∴反比例函数的表达式为y=

12

x

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=

OA

OB

=

2

1

=2（8分）
∴在Rt△PDM中，

PD

MD

=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）