试题

题目：
青果学院（2003·湖州）已知如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥BA，若⊙O的半径为
4
3
3
，则DE的长为（　　）



答案
C
青果学院解：连接OC交EF于M，延长CM交AB于点H．连接OA，连接OE．
在直角△OAH中，AH=OA·cos30°=
4
3
3
×
3
2
=2
∴AB=2AH=4
又∵弦EF经过BC边的中点D，且EF∥BA．
∴DG=
1
2
AB=2，
在直角△ACH中，CH=AC·sin60°=4×
3
2
=2
3
，
∴OH=
1
3
CH=
2
3
3
，
HM=
1
2
CH=
3
，
∴OM=HM-OH=
3
3
，
在直角△OME中，EM=
OE2-OM2
=
5
，
∴EF=2
5
，
∴ED=
EF-DG
2
=
5
-1．
故选C．
考点梳理
垂径定理；等边三角形的性质；相交弦定理；解直角三角形．
根据等边三角形的性质求得圆的半径，然后根据中位线定理求得DG的长，利用勾股定理求得EG，即可求得EF的长，根据ED=
EF-DG
2
即可求解．
本题主要考查了勾股定理以及垂径定理，三角形的中位线定理，利用垂径定理正确求得EF的长是解题的关键．
压轴题．
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