试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2
2
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交于AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为
3
2
3
2
．
答案
3
2

青果学院解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=
2

∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，
由圆周角定理可知∠EOH=
1
2
∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH=
1
2
×
3
2
=
3
4
，
由垂径定理可知EF=2EH=
3
2
，
故答案为：
3
2
．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E·sin∠EOH=20E·sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=
1
2
∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH，即可求出答案．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
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