试题

题目：
青果学院如图，CD与AB是⊙O内两条相交的弦，且AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点E，CE=5，连接AC、BD．
（1）若sinD=
5
13
，则cosA=
12
13
12
13
；
（2）在（1）的条件下，求BE的长．
答案
12
13

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴sin∠D=sin∠D=
CE
AC
=
5
13
；
又∵CE=5，
∴AC=13，
∴AE=12（勾股定理），
∴cosA=
AE
AC
=
12
13
．…（2分）

（2）如图，连接BC．
青果学院∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴由（1）知AC=13，AE=12，cosA=
12
13
．
在Rt△ACB中，cosA=
AC
AB
，
∴AB=
169
12
．…（4分）
∴BE=AB-AE=
25
12
．…（5分）
考点梳理
圆周角定理；勾股定理；同角三角函数的关系；解直角三角形．
（1）利用圆周角定理和三角函数的定义求得AC=13；然后根据勾股定理知AE=12；最后利用三角函数定义求cosA的值；
（2）连接BC．利用（1）的结果，在直角三角形ABC中，根据∠A的余弦三角函数值求得AB的长度，然后利用图中BE、AE以及AB间的数量关系来求BE的长度即可．
本题综合考查了圆周角定理、同角三角函数的定义、勾股定理等知识．解答这类题一些学生往往不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
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