试题

题目：
青果学院如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作圆O交斜边AB于点D，若劣弧CD=120°，则
BD
AD
=
3
3
．
答案
3

青果学院解：如图，连接OD、CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵劣弧CD=120°，∴∠COD=120°，
∴∠OAD=60°；
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠A=60°；
在Rt△CAD中，AD=
1
2
AC（30°所对的直角边是斜边的一半）；
在Rt△ABC中，AC=
1
2
AB（30°所对的直角边是斜边的一半）；
∴BD=AB-AD=
3
2
AC，
∴
BD
AD
=3．
故答案是：3．
考点梳理
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
如图，连接OD、CD．利用圆周角定理可以推知∠ADC=90°，由已知条件证得∠COD=120°；然后根据等边三角形的判定与性质可以求得∠A=60°，由直角三角形的两个锐角互余知∠ACD=∠ABC=30°；最后在直角三角形中，由“30°所对的直角边是斜边的一半”分别求得AD、BD与线段AC的数量关系，从而求得
BD
AD
的值．
本题综合考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形以及等边三角形的判定与性质．解题时，通过作辅助线连接OD、CD构建等边△AOD和Rt△CAD来求得∠A的度数的．
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