试题

如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE=

5

，AB=5，求AE的长．

（1）证明：连AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，AE⊥BE，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵BO=OA，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥BE；

（2）解：∵OD⊥BE，
∴弧BD=弧DE，
∴DB=DE=

5

，
∵AB=5，则OB=OD=

5

2

，
设OF=x，则DF=

5

2

-x，
∵BF²=BD²-DF²=OB²-OF²，即（

5

）²-（

5

2

-x）²=（

5

2

）²-x²，解得x=

3

2

，
∵OF∥AE，OA=OB，
∴AE=2OF=2×

3

2

=3．
（1）证明：连AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，AE⊥BE，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵BO=OA，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥BE；

（2）解：∵OD⊥BE，
∴弧BD=弧DE，
∴DB=DE=

5

，
∵AB=5，则OB=OD=

5

2

，
设OF=x，则DF=

5

2

-x，
∵BF²=BD²-DF²=OB²-OF²，即（

5

）²-（

5

2

-x）²=（

5

2

）²-x²，解得x=

3

2

，
∵OF∥AE，OA=OB，
∴AE=2OF=2×

3

2

=3．