试题

题目：
青果学院如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，
BA
=
AF
，BF与AD交于E．
（1）求证：AE=BE；
（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．
答案
解：（1）连AC，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵
BA
=
AF
，
∴∠ACB=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=
1
2
BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=
1
2
AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE=
BD
3
=
3
3
=
3
，
∴BE=2
3
，
所以AE=2
3
．
解：（1）连AC，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵
BA
=
AF
，
∴∠ACB=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=
1
2
BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=
1
2
AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE=
BD
3
=
3
3
=
3
，
∴BE=2
3
，
所以AE=2
3
．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
（1）连AC，要证明AE=BE，只要证∠ABE=∠BAE；BC为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由
BA
=
AF
，得∠ACB=∠ABF，这样就有∠ABE=∠BAE；
（2）由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为90度以及含30度的直角三角形三边的关系为1：
3
：2．
证明题．
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