试题

题目：
青果学院如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2
3
cm，
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论； 
（2）求⊙O的周长．
答案
青果学院（1）答：△ABC是等边三角形．
证明：∵在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠A=∠BDC=60°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，
∴AE=
1
2
AC=
1
2
×2
3
=
3
（cm），∠OAE=
1
2
∠BAC=30°，
∴OA=
AE
cos30°
=
3
3
2
=2（cm），
∴⊙O的周长为：2π×2=4π．
青果学院（1）答：△ABC是等边三角形．
证明：∵在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠A=∠BDC=60°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，
∴AE=
1
2
AC=
1
2
×2
3
=
3
（cm），∠OAE=
1
2
∠BAC=30°，
∴OA=
AE
cos30°
=
3
3
2
=2（cm），
∴⊙O的周长为：2π×2=4π．
考点梳理
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．
（1）由在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，利用圆周角定理可求得∠A=60°，继而可得△ABC是等边三角形；
（2）首先过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，由垂径定理，易求得OA的长，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理以及三角函数．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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