试题

题目：
青果学院已知：如图，⊙O的直径AD=2，
BC
=
CD
=
DE
，∠BAE=90°．
（1）求△CAD的面积；
（2）求四边形ABCD区域的面积与⊙O的面积之比（结果保留π）
答案
青果学院解：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°
∵
BC
=
CD
=
DE
，∠BAE=90°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°
∵在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=30°，
∴CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=
3

∴S△ACD=
1
2
AC·CD=
3
2

（2）连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD=90°
又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°，
∴∠BDA=30°
∴∠BCA=∠BDA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC
过B作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=
1
2
AC=
3
2
，
∴BF=AFtan30°=
1
2

∴S△ABC=
1
2
AC·BF=
3
4

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
3
3
4

∵S⊙O=π×12=π，
∴四边形ABCD区域的面积与⊙O的面积之比=
3
3
4
π
=
3
3
4π
．
青果学院解：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°
∵
BC
=
CD
=
DE
，∠BAE=90°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°
∵在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=30°，
∴CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=
3

∴S△ACD=
1
2
AC·CD=
3
2

（2）连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD=90°
又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°，
∴∠BDA=30°
∴∠BCA=∠BDA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC
过B作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=
1
2
AC=
3
2
，
∴BF=AFtan30°=
1
2

∴S△ABC=
1
2
AC·BF=
3
4

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
3
3
4

∵S⊙O=π×12=π，
∴四边形ABCD区域的面积与⊙O的面积之比=
3
3
4
π
=
3
3
4π
．
考点梳理
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．
（1）根据等弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角是直角，即可确定△ACD是一个角是30度的直角三角形，利用三角函数即可求得AC，CD的长，从而求得三角形的面积；
（2）过B作BF⊥AC，垂足为F，利用三角形的面积公式即可求得△ABC的面积，则四边形ABCD的面积即可求得，然后求得圆的面积即可求解．
本题考查了圆周角定理，正确利用圆周角定理确定△ACD是一个角是30度的直角三角形是关键．
找相似题