试题

如图，AB是⊙O的直径，

AM

=

BM

，C在

AM

上，且不与A、M重合，MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，连CM．
①求证：ME=MF；
②若AC=6，BC=8，求线段CM的长．

（1）证明：连OM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠MOB=90°，
∴∠MCF=

1

2

∠MOB=45°，
∴∠ECM=45°，（2分）
∴MC平分∠ECF；
又∵EM⊥CE，MF⊥CB，
∴ME=MF．（4分）

（2）解：连接AM、BM；
由（1）得正方形EMFC，则MF=FC=CE，
∵

AM

=

BM

，
∴AM=BM，
又ME=MF，
∴Rt△MBF≌Rt△MAE，（6分）
∴BF=AE，
∴2BF=BF+AE，
∴2BF=BF+CF+AC=8+6=14，
∴BF=7，
∴CF=8-7=1，
∴CM=

2

CF，
∴CM=

2

．（8分）
（1）证明：连OM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠MOB=90°，
∴∠MCF=

1

2

∠MOB=45°，
∴∠ECM=45°，（2分）
∴MC平分∠ECF；
又∵EM⊥CE，MF⊥CB，
∴ME=MF．（4分）

（2）解：连接AM、BM；
由（1）得正方形EMFC，则MF=FC=CE，
∵

AM

=

BM

，
∴AM=BM，
又ME=MF，
∴Rt△MBF≌Rt△MAE，（6分）
∴BF=AE，
∴2BF=BF+AE，
∴2BF=BF+CF+AC=8+6=14，
∴BF=7，
∴CF=8-7=1，
∴CM=

2

CF，
∴CM=

2

．（8分）