试题

题目：
青果学院如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则
BO
AO
的值为（　　）



答案
C
青果学院解：连接AD，BD，
∵∠BAD与∠BCD是
BD
对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD=α，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠ODB+∠OBD=90°，
∴∠ODB=∠BAD=α，
在Rt△AOD中，AO=
OD
tan∠DAB
=
OD
tanα
，
在Rt△BOD中，OB=OD·tan∠ODB=OD·tanα，
∴
BO
AO
=
OD·tanα
OD
tanα
=tan2α．
故选C．
考点梳理
直角三角形的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值．
首先连接AD，BD，由圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=α，又由AB是半圆的直径，可得∠ADB=90°，然后根据同角的余角相等，求得∠ODB=∠BAD=α，再利用三角函数的定义，求得OB与OA，继而可求得
BO
AO
的值．
此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．
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