试题

题目：
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交斜边AB于点D，
CF
=
DF
，连接AF交BC青果学院于G，连接CF交AB于E
（1）求证：DF=EF；
（2）DE=3，FD=5，求⊙O的半径．
答案
（1）证明：∵
CF
=
DF
，∴DF=FC，∠DAF=∠FAC，AC为直径，
∴∠AFC=∠AFE=90°，
∴△AFE≌△AFC，
∴EF=FC=DF；

（2）解：∵△AFE≌△AFC，EF=FC=DF=5，∴∠FED=∠FDE=∠ACE=∠AEC，
∴△ACE∽△FED，
∴
AC
EF
=
CE
ED
，
可求出AC=
50
3
，
∴⊙O的半径为
25
3
．
（1）证明：∵
CF
=
DF
，∴DF=FC，∠DAF=∠FAC，AC为直径，
∴∠AFC=∠AFE=90°，
∴△AFE≌△AFC，
∴EF=FC=DF；

（2）解：∵△AFE≌△AFC，EF=FC=DF=5，∴∠FED=∠FDE=∠ACE=∠AEC，
∴△ACE∽△FED，
∴
AC
EF
=
CE
ED
，
可求出AC=
50
3
，
∴⊙O的半径为
25
3
．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
（1）可证得△AFE≌△AFC，从而得出DF=EF；
（2）由△AFE≌△AFC得出，△ACE∽△FED，则
AC
EF
=
CE
ED
，从而求出AC=
50
3
．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
计算题；证明题．
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