试题

题目：
已知直线y=
1
2
x与y=
k
x
（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4，过原点O的另一条直线l交双曲线y=
k
x
（k＞0）于P，Q两点（点P在第一象限），由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，则点P的坐标为
（2，4）
（2，4）
．
答案
（2，4）

解：青果学院作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图，设P点坐标为（a，b）
把x=4代入y=
1
2
x得y=2，则A点坐标为（4，2），
把A（4，2）代入y=
k
x
得k=4×2=8，
所以反比例函数解析式为y=
8
x
，
∵点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∴S△OPA=
1
4
S平行四边形APBQ=
1
4
×24=6，
∵S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，
∴8+
1
2
（2+b）（4-a）=4+6+4，
∵b=
8
a
，
∴（2+
8
a
）（4-a）=12，
整理得a2+6a-16=0，解得a1=2，a2=-8（舍去），
当a=2，b=
8
a
=4，
∴P点坐标为（2，4）．
故答案为（2，4）．
考点梳理
反比例函数与一次函数的交点问题．
作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，设P点坐标为（a，b），先确定A点坐标为（4，2），再利用A点坐标确定反比例函数解析式为y=
8
x
，根据反比例函数的性质可得到四边形APBQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到S△OPA=
1
4
S平行四边形APBQ=6，由于S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，化简反比例函数的比例系数的几何意义和梯形的面积公式有8+
1
2
（2+b）（4-a）=4+6+4，再把b=
8
a
代入得（2+
8
a
）（4-a）=12，解得a1=2，a2=-8（舍去），当a=2，b=
8
a
=4，所以P点坐标为（2，4）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
计算题．
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