试题
题目:
如图,等腰直角△ABC和等边△AEF都是半径为R的圆的内接三角形.
(1)求AF的长;
(2)通过对△ABC和△AEF的观察,请你先猜想谁的面积大,再证明你的猜想.
答案
解:(1)连接OF,过O作OG⊥AF于G,OF=R,
又∵△AEF为等边三角形,
∴∠AOF=120°,
∴∠GOF=60°,
∴GF=
3
2
R,则AF=
3
R
(2)S
△ABC
<S
△AEF
,
∵直角△ABC是等腰直角三角形.
∴AB=2R,
∴AC=
2
R,
∴S
△ABC
=R
2
S
△AEF
=3×
1
2
OG·AF
,
OG=
1
2
R
,
S
△AEF
=
3
4
R·
3
R=
3
3
4
R
2
>
R
2
∴S
△ABC
<S
△AEF
解:(1)连接OF,过O作OG⊥AF于G,OF=R,
又∵△AEF为等边三角形,
∴∠AOF=120°,
∴∠GOF=60°,
∴GF=
3
2
R,则AF=
3
R
(2)S
△ABC
<S
△AEF
,
∵直角△ABC是等腰直角三角形.
∴AB=2R,
∴AC=
2
R,
∴S
△ABC
=R
2
S
△AEF
=3×
1
2
OG·AF
,
OG=
1
2
R
,
S
△AEF
=
3
4
R·
3
R=
3
3
4
R
2
>
R
2
∴S
△ABC
<S
△AEF
考点梳理
考点
分析
点评
专题
正多边形和圆.
(1)连接OF,过O作OG⊥AF于G,在直角△OGF中,利用三角函数即可求解;
(2)根据外接圆的半径是R,即可求得等腰直角△ABC和等边△AEF的面积,即可作出比较.
本题主要考查了正多边形与圆的计算,正确理解等腰直角三角形的斜边就是外接圆的直径,正多边形的计算可以转化为直角三角形的计算.
计算题;证明题.
找相似题
(2013·自贡)如图,点O是正六边形的对称中心,如果用一副三角板的角,借助点O(使该角的顶点落在点O处),把这个正六边形的面积n等分,那么n的所有可能取值的个数是( )
某校科艺节汇报演出活动中,5个舞蹈演员,每人手执一把大小形状都相同扇子,扇子完全展开后的半径OA为24cm,三把扇子完全展开刚好组成了图2所示的一朵圆形的花,然后又一变化,五把扇子组成了图3所示的五角星的形状,求图3所示五角星中∠α的角度.
如图1,请求圆内接正五边形的中心角∠AOB=
72
72
°,及∠ACB=
36
36
°,如图2,请求圆内接正六边形的中心角∠AOB=
60
60
°,及∠ACB=
30
30
°
探究:正n边形每条边所对的中心角∠AOB=
360
n
360
n
°,及∠ACB=
180
n
180
n
°(用n表示)
如图一,有一个圆O和两个正六边形T
1
,T
2
.T
1
的六个顶点都在圆周上,T
2
的六条边都和圆O相切(我们称T
1
,T
2
分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)请你在备用图中画出圆O的内接正六边形,并简要写出作法;
(2)设圆O的半径为R,求T
1
,T
2
的边长(用含R的式子表示);
(3)设圆O的半径为R,求图二中阴影部分的面积(用含R的式子表示)
如图所示,点A坐标为(0,3),⊙A半径为1,点B在x轴上.
(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;
(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.