试题

题目:
如图一,有一个圆O和两个正六边形T1,T2.T1的六个顶点都在圆周上,T2的六条边都和圆O相切(我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
青果学院
(1)请你在备用图中画出圆O的内接正六边形,并简要写出作法;
(2)设圆O的半径为R,求T1,T2的边长(用含R的式子表示);
(3)设圆O的半径为R,求图二中阴影部分的面积(用含R的式子表示)
答案
解:(1)如图
青果学院
作法:①在⊙O中做圆心角∠AOB=60°;
②在⊙O上依次截取与弧AB相等的弧,得到圆的6个等分点A、B、C、D、E、F;
③顺次连接各点,六边形ABCDEF即为所求正六边形.(4分)

(2)如图:
青果学院
∵由(1)知△AOB为等边三角形,
∴T1的半径为R.(6分)
连接OG,可知Rt△OGB≌Rt△OGA,
∴∠OGB=60°,
∴BG=
1
2
OG

设BG为x,由勾股定理有:x2+R2=(2x)2
解得:x=
3
3
R

外切正六边形的边长为
2
3
3
R
.(8分)

(3)由图知:
阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积,
∵内接正六边形的面积为S△AOB的六倍,S△AOB=
3
4
R2

∴内接正六边形的面积为:S=6S△AOB=
3
3
2
R2
.(9分)
∵外切正六边形的面积为S△OGH的六倍,S△OGH=
3
4
·(
2
3
3
R)2=
3
3
R2

∴外切正六边形的面积为:S=6S△OGH=2
3
R2
.(10分)
S=S-S=(2
3
-
3
3
2
)R2=
3
2
R2
.(12分)
解:(1)如图
青果学院
作法:①在⊙O中做圆心角∠AOB=60°;
②在⊙O上依次截取与弧AB相等的弧,得到圆的6个等分点A、B、C、D、E、F;
③顺次连接各点,六边形ABCDEF即为所求正六边形.(4分)

(2)如图:
青果学院
∵由(1)知△AOB为等边三角形,
∴T1的半径为R.(6分)
连接OG,可知Rt△OGB≌Rt△OGA,
∴∠OGB=60°,
∴BG=
1
2
OG

设BG为x,由勾股定理有:x2+R2=(2x)2
解得:x=
3
3
R

外切正六边形的边长为
2
3
3
R
.(8分)

(3)由图知:
阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积,
∵内接正六边形的面积为S△AOB的六倍,S△AOB=
3
4
R2

∴内接正六边形的面积为:S=6S△AOB=
3
3
2
R2
.(9分)
∵外切正六边形的面积为S△OGH的六倍,S△OGH=
3
4
·(
2
3
3
R)2=
3
3
R2

∴外切正六边形的面积为:S=6S△OGH=2
3
R2
.(10分)
S=S-S=(2
3
-
3
3
2
)R2=
3
2
R2
.(12分)
考点梳理
正多边形和圆.
(1)先画出60°的圆心角,确定圆心角所对的弧,在圆上依次截取与弧AB相等的弧即可;
(2)连接OG,得到Rt△OGB≌Rt△OGA,然后利用勾股定理解答;
(3)根据“阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积”,并把正六边形的面积转化为
六个三角形面积的和解答.
此题考查了圆和其内接正六边形、外切正六边形之间的关系,要转化为正三角来解答.
找相似题