试题

（2012·石家庄二模）阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=

5

，PB=

2

，PC=1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
（1）图2中∠BPC的度数为；
（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2

13

，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．

解：（1）如图2．
∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=90°，BP′=BP=

2

，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴PP′=

2

PB=2，∠BP′P=45°，
在△APP′中，AP=

5

，PP′=2，AP′=1，
∵（

5

）²=2²+1²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°
∴∠BP′A=45°+90°=135°，
∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）如图3．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
过B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，
∴BH=

1

2

BP′=2，P′H=

3

BH=2

3

，
∴P′P=2P′H=4

3

，
在△APP′中，AP=2

13

，PP′=4

3

，AP′=2，
∵（2

13

）²=（4

3

）²+2²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠BPC=120°，
过A作AG⊥BP′于G点，
∴∠AP′G=60°，
在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，
∴GP′=

1

2

AP′=1，AG=

3

GP′=

3

，
在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，
AB=

AG2+BG2

=

( 3 )2+52

=2

7

，
即正六边形ABCDEF的边长为2

7

．
故答案为135°；120°，2

7

．