试题

（2003·安徽）如图是五角星，已知AC=a，求五角星外接圆的直径（结果用含三角函数的式子表示）．

解：连AO，并延长交圆O于点F，连接CF，
则∠ACF=90°；
∵A，B，C，D，E是圆O的五等分点．
∴∠CAD=∠DBE=∠ACE=∠ADB=∠BEC，
又∠CAD+∠DBE+∠ACE+∠ADB+∠BEC=180°，
∴∠CAD=

1

5

×180°=36°，
∴∠CAF=

1

2

∠CAD=18°，
在Rt△ACF中，AC=a，
∴AF=

AC

cos∠CAF

=

a

cos18°

．
解：连AO，并延长交圆O于点F，连接CF，
则∠ACF=90°；
∵A，B，C，D，E是圆O的五等分点．
∴∠CAD=∠DBE=∠ACE=∠ADB=∠BEC，
又∠CAD+∠DBE+∠ACE+∠ADB+∠BEC=180°，
∴∠CAD=

1

5

×180°=36°，
∴∠CAF=

1

2

∠CAD=18°，
在Rt△ACF中，AC=a，
∴AF=

AC

cos∠CAF

=

a

cos18°

．