试题

题目：
（2003·三明）已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．青果学院
（1）求证：AB2=AG·BF；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．
答案
证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴
AG
BC
=
AE
BF
，即BC·AE=AG·BF．
又∵BC=AE=AB，
∴AB2=AG·BF．①

（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，青果学院
∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF过圆心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG与⊙O相切．
∴EG2=AG·BG．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
设AG=x，则22=x（x+2），解得x=
5
-1，
∴AG=
5
-1，代入①中可得：BF=
5
+1．
证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴
AG
BC
=
AE
BF
，即BC·AE=AG·BF．
又∵BC=AE=AB，
∴AB2=AG·BF．①

（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，青果学院
∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF过圆心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG与⊙O相切．
∴EG2=AG·BG．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
设AG=x，则22=x（x+2），解得x=
5
-1，
∴AG=
5
-1，代入①中可得：BF=
5
+1．
考点梳理
正多边形和圆；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
欲证AB2=AG·BF，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．
乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出，同时考查了切线的性质．
证明题；压轴题．
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