试题

题目：
一个圆内接正三角形面积为16
3
cm2，求（1）这个圆的半径；（2）这个圆的外切正三角形面积？
答案
解：（1）如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD=30°，青果学院
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°-30°=30°，
在Rt△OBD中，
BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD=x，则AD=BD·tan60°=
3
BD=
3
x．
∵正三角形ABC面积为16
3
cm2，
∴
1
2
BC·AD=16
3
，
∴
1
2
×2x·
3
x=16
3
，
∴x=4．
即BD=4，则AD=4
3
，
∵OD：OA：AD=1：2：3，
∴AO=4
3
×
2
3
=
8
3
3
cm．青果学院
即这个圆的半径为
8
3
3
cm．

（2）如图（2），
∵OD=
8
3
3
，∠OAD=30°，
∴AD=OD÷tan30°=
8
3
3
÷
3
3
=8，
∴S△ABC=6S△AOD=6×
1
2
×
8
3
3
×8=64
3
cm2．
解：（1）如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD=30°，青果学院
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°-30°=30°，
在Rt△OBD中，
BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD=x，则AD=BD·tan60°=
3
BD=
3
x．
∵正三角形ABC面积为16
3
cm2，
∴
1
2
BC·AD=16
3
，
∴
1
2
×2x·
3
x=16
3
，
∴x=4．
即BD=4，则AD=4
3
，
∵OD：OA：AD=1：2：3，
∴AO=4
3
×
2
3
=
8
3
3
cm．青果学院
即这个圆的半径为
8
3
3
cm．

（2）如图（2），
∵OD=
8
3
3
，∠OAD=30°，
∴AD=OD÷tan30°=
8
3
3
÷
3
3
=8，
∴S△ABC=6S△AOD=6×
1
2
×
8
3
3
×8=64
3
cm2．
考点梳理
正多边形和圆．
（1）利用三角形半径和边心距的关系，求出半径和边心距及三角形的高的比，根据比例设出边心距，再表示出三角形的高，即可列方程解答；（2）根据（1）的结论，结合直角三角形的性质求出AD的长，即可求出三角形的面积．
此题考查了圆的内接三角形和外切三角形，根据正三角形的性质和三角函数，求出半径和边心距的长是解题的关键．
数形结合．
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