试题

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+1（a≠0）与反比例函数y=

m

x

 (m≠0)的图象交于A、D两点，AB⊥x轴于点B，tan∠AOB=

2 3

3

，△ABO的面积为

3

．
求：（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOD的面积．

解：（1）∵tan∠AOB=

2 3

3

=

AB

BO

，
∴设AB=2

3

a，BO=3a，
∵△ABO的面积为

3

，
∴

1

2

·3a·2

3

a=

3

，
a=

3

3

，
∴AB=2，OB=

3

，
∴A的坐标是（-

3

，2），
把A的坐标代入y=

m

x

得：m=-2

3

，
∴反比例函数的解析式是：y=-

2 3

x

，
把A的坐标代入y=ax+1得：2=-

3

a+1得：a=-

3

3

，
∴一次函数的解析式是：y=-

3

3

x+1；

（2）解方程组

y=- 2 3 x y=- 3 3 x+1

得：

x1=2 3 y1=-1

，

x2=- 3 y2=2

，
∵A（-

3

，2），
∴D（2

3

，-1），
把y=0代入y=-

3

3

x+1得：0=-

3

3

x+1，
x=

3

，
△AOD的面积
即OE=

3

，
∴△AOD的面积S=S_△AOE+S_△DOE=

1

2

×

3

×2+

1

2

×

3

×|-1|=

3

2

3

．
解：（1）∵tan∠AOB=

2 3

3

=

AB

BO

，
∴设AB=2

3

a，BO=3a，
∵△ABO的面积为

3

，
∴

1

2

·3a·2

3

a=

3

，
a=

3

3

，
∴AB=2，OB=

3

，
∴A的坐标是（-

3

，2），
把A的坐标代入y=

m

x

得：m=-2

3

，
∴反比例函数的解析式是：y=-

2 3

x

，
把A的坐标代入y=ax+1得：2=-

3

a+1得：a=-

3

3

，
∴一次函数的解析式是：y=-

3

3

x+1；

（2）解方程组

y=- 2 3 x y=- 3 3 x+1

得：

x1=2 3 y1=-1

，

x2=- 3 y2=2

，
∵A（-

3

，2），
∴D（2

3

，-1），
把y=0代入y=-

3

3

x+1得：0=-

3

3

x+1，
x=

3

，
△AOD的面积
即OE=

3

，
∴△AOD的面积S=S_△AOE+S_△DOE=

1

2

×

3

×2+

1

2

×

3

×|-1|=

3

2

3

．