试题

已知A（x₁、y₁），B（x₂，y₂）是直线y=-x+2与双曲线y=

k

x

（k≠0）的两个不同交点．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在这样k的值，使得(x1-2)(x2-2)=

x2

x1

+

x1

x2

？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=-x+2与双曲线y=

k

x

（k≠0）的两个不同交点，-x+2=

k

x

，
即：x²-2x+k=0，
∴△=4-4k＞0，
解得：k＜1且k≠0；

（2）假设存在k，使(x1-2)(x2-2)=

x2

x1

+

x1

x2

，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=

x22+ x12

x1x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1 x2

，
∵x₁，x₂是方程x²-2x+k=0的两根，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=k，
∴k-4+4=

4-2k

k

，
解得：k=-1±

5

，
又k＜1且k≠0，
∴k=-1-

5

．
故存在k=-1-

5

使得(x1-2)(x2-2)=

x2

x1

+

x1

x2

成立．
解：（1）∵直线y=-x+2与双曲线y=

k

x

（k≠0）的两个不同交点，-x+2=

k

x

，
即：x²-2x+k=0，
∴△=4-4k＞0，
解得：k＜1且k≠0；

（2）假设存在k，使(x1-2)(x2-2)=

x2

x1

+

x1

x2

，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=

x22+ x12

x1x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1 x2

，
∵x₁，x₂是方程x²-2x+k=0的两根，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=k，
∴k-4+4=

4-2k

k

，
解得：k=-1±

5

，
又k＜1且k≠0，
∴k=-1-

5

．
故存在k=-1-

5

使得(x1-2)(x2-2)=

x2

x1

+

x1

x2

成立．