试题

题目：
在直径为4cm的⊙O中，长度为2
3
cm的弦BC所对的圆周角的度数为
60°或120°
60°或120°
．
答案
60°或120°

青果学院解：分两种情况考虑：D在优弧ADB上或E在劣弧AB上时，可得弦AB所对的圆周角为∠D或∠E；
根据题意画出相应的图形，作OC⊥AB，可得C为AB的中点，
∴AC=BC=
1
2
AB=
3
cm，
又直径为4cm，
∴OA=2cm，
在Rt△AOC中，cos∠OAC=
AC
OA
=
3
2
，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠D=
1
2
∠AOB=60°，
又圆内接四边形的对角互补，
∴∠E=120°，
则弦AB所对的圆周角为60°或120°．
故答案为：60°或120°
考点梳理
圆周角定理；特殊角的三角函数值．
分两种情况考虑：D在优弧ADB上或E在劣弧AB上时，可得弦AB所对的圆周角为∠D或∠E；根据题意画出相应的图形，作OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，再由直径的长求出AO的长，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠OAC的度数，由OA=OB，利用等边对等角得到∠OAC=∠OBC，利用内角和定理求出圆心角∠AOB的度数，利用圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠E的度数，确定出AB所对圆周角的度数．
此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
分类讨论．
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