试题

题目：
青果学院如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，已知AC，AF的长是关于x的方程x2+mx+1=0的两个根，则m的值为
-
5
-
5
．
答案
-
5

解：连接OD，作OH⊥DE于H，
∴∠OHD=90°，DH=
1
2
DE．
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE=EF=FC=1，∠DCF=∠CDE=90°
∴∠DCF=∠CDE=∠OHD=90°，青果学院
∴四边形CDHO是矩形，
∴CO=DH=
1
2
DE=
1
2
．
在Rt△COD中，由勾股定理，得
DO=
5
2
．
∴AF=
5
2
+
1
2
．
∴（
5
2
+
1
2
）2+m（
5
2
+
1
2
）+1=0，
∴m=-
5
．
故答案为：-
5
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；根与系数的关系；圆周角定理．
连接OD，作OH⊥DE于H，根据正方形的性质和垂径定理的性质由勾股定理就可以求出OD的值，进而就可以求出AC或AF的值，代入方程就可以求出m的值．
本题考查了垂径定理的运用，正方形的性质的运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据正方形的性质和垂径定理求出圆的半径是关键．
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