试题

题目：
青果学院（2009·株洲）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长．
答案
（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC．
∴∠BAC=∠OAC．
即AC平分∠OAB．

（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE=BE=
1
2
AB=1．
又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，
∴∠OAE=60°．
∴∠EAP=
1
2
∠OAE=30°，
∴PE=AE×tan30°=1×
3
3
=
3
3
，
即PE的长是
3
3
．
（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC．
∴∠BAC=∠OAC．
即AC平分∠OAB．

（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE=BE=
1
2
AB=1．
又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，
∴∠OAE=60°．
∴∠EAP=
1
2
∠OAE=30°，
∴PE=AE×tan30°=1×
3
3
=
3
3
，
即PE的长是
3
3
．
考点梳理
圆周角定理；平行线的性质；角平分线的性质；勾股定理．
（1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分∠OAB．
（2）利用勾股定理解直角三角形即可．
本题利用的是平行线，角平分线的性质结合直角三角形的性质利用勾股定理解答，有一定的综合性．
几何综合题；压轴题．
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