试题

（2010·百色）如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为B，AC交⊙O于点D．
（1）用尺规作图：过点D作DE⊥BC，垂足为E（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，求证：△BED∽△DEC；
（3）若点D是AC的中点（如图2），求sin∠OCB的值．

（1）解：如图，


（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∴∠CDE+∠EDB=90°．
又∵DE⊥BC，
∴∠CED=∠DEB=90°，
∴∠CDE+∠C=90°．
∴∠C=∠EDB．
∴△BED∽△DEC．

（3）解：∵∠ADB=90°，D是AC的中点，
∴BD垂直平分AC．
∴BC=AB=2OB．
设OB=k，则BC=2k，
∴OC=

k2+(2k)2

=

5

k．
∴sin∠OCB=

OB

OC

=

k

5 k

=

5

5

．
（1）解：如图，


（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∴∠CDE+∠EDB=90°．
又∵DE⊥BC，
∴∠CED=∠DEB=90°，
∴∠CDE+∠C=90°．
∴∠C=∠EDB．
∴△BED∽△DEC．

（3）解：∵∠ADB=90°，D是AC的中点，
∴BD垂直平分AC．
∴BC=AB=2OB．
设OB=k，则BC=2k，
∴OC=

k2+(2k)2

=

5

k．
∴sin∠OCB=

OB

OC

=

k

5 k

=

5

5

．