试题

（2010·广元）已知：如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，BC=2，AC=4，sin∠BAC=

1

3

．
（1）求证：△ACD∽△ECB；
（2）求⊙O的面积．

（1）证明：∵∠CAB和∠CEB都为弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CEB，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CBE=90°，
∴∠CDA=∠CBE，
∴△ACD∽△ECB．

（2）解：sin∠BAC=

CD

AC

=

1

3

∵AC=4，
∴CD=

4

3

，
∵△ACD∽△ECB，
∴

AC

BC

=

CD

CE

∴

4

BC

=

4 3

2

，
∴CE=6，且EC为直径，
∴S=πr²=9π．
（1）证明：∵∠CAB和∠CEB都为弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CEB，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CBE=90°，
∴∠CDA=∠CBE，
∴△ACD∽△ECB．

（2）解：sin∠BAC=

CD

AC

=

1

3

∵AC=4，
∴CD=

4

3

，
∵△ACD∽△ECB，
∴

AC

BC

=

CD

CE

∴

4

BC

=

4 3

2

，
∴CE=6，且EC为直径，
∴S=πr²=9π．