试题

题目：
青果学院（2011·漳州）如图，AB是⊙O的直径，
AC
=
CD
，∠COD=60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
答案
青果学院解：（1）△AOC是等边三角形  …（1分）
证明：∵
AC
=
CD
，
∴∠1=∠COD=60°        …（3分）
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴△AOC是等边三角形；      …（5分）

（2）证法一：∵
AC
=
CD
，
∴OC⊥AD                 …（7分）
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD …（9分）
∴OC∥BD…（10分）
证法二：∵
AC
=
CD
，
∴∠1=∠COD=
1
2
∠AOD   …（7分）
又∠B=
1
2
∠AOD
∴∠1=∠B               …（9分）
∴OC∥BD               …（10分）
青果学院解：（1）△AOC是等边三角形  …（1分）
证明：∵
AC
=
CD
，
∴∠1=∠COD=60°        …（3分）
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴△AOC是等边三角形；      …（5分）

（2）证法一：∵
AC
=
CD
，
∴OC⊥AD                 …（7分）
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD …（9分）
∴OC∥BD…（10分）
证法二：∵
AC
=
CD
，
∴∠1=∠COD=
1
2
∠AOD   …（7分）
又∠B=
1
2
∠AOD
∴∠1=∠B               …（9分）
∴OC∥BD               …（10分）
考点梳理
圆周角定理；平行线的判定；等边三角形的判定．
（1）由等弧所对的圆心角相等推知∠1=∠COD=60°；然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径知OA=OC，从而证得△AOC是等边三角形；
（2）证法一：利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明OC∥BD；
证法二：通过证明同位角∠1=∠B，推知OC∥BD．
本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定以及平行线的判定．在证明△AOC是等边三角形时，利用了等边三角形的内角是60°的性质．
几何综合题；压轴题．
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