试题

题目：
青果学院（2012·青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC=4，sinM=
2
3
，求⊙O的直径．
答案
（1）证明：∵∠C与∠M是
BD
所对的圆周角，
∴∠BCD=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD；

青果学院（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴
BC
=
BD
，
∴∠A=∠M，
∴sinA=sinM，
在Rt△ACB中，sinA=
BC
AB
，
∵sinM=
2
3
，BC=4，
∴
4
AB
=
2
3

解得，AB=6，
即⊙O的直径为6．
（1）证明：∵∠C与∠M是
BD
所对的圆周角，
∴∠BCD=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD；

青果学院（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴
BC
=
BD
，
∴∠A=∠M，
∴sinA=sinM，
在Rt△ACB中，sinA=
BC
AB
，
∵sinM=
2
3
，BC=4，
∴
4
AB
=
2
3

解得，AB=6，
即⊙O的直径为6．
考点梳理
圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．
（1）由∠C与∠M是
BD
所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；
（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得
BC
=
BD
，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=
2
3
，即可求得⊙O的直径．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
压轴题．
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