试题

（2008·长春）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）AE=

1

3

CE．

证明：（1）连接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE=

1

2

AD=

1

4

AB，
∴EC=3AE；
∴AE=

1

3

CE．
证明：（1）连接OD，得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE=

1

2

AD=

1

4

AB，
∴EC=3AE；
∴AE=

1

3

CE．