试题

题目：
青果学院（2008·南通）已知：如图，M是
AB
的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4
3
cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数．
答案
青果学院解：（1）连接OM，
∵点M是
AB
的中点，
∴OM⊥AB，
过点O作OD⊥MN于点D，
由垂径定理，得MD=
1
2
MN=2
3
，
在Rt△ODM中，OM=4，MD=2
3
，
∴OD=
OM2-MD2
=2，
故圆心O到弦MN的距离为2cm；

（2）cos∠OMD=
MD
OM
=
3
2
，
∴∠OMD=30°，青果学院
∵M为弧AB中点，OM过O，
∴AB⊥OM，
∴∠MPC=90°，
∴∠ACM=60°．
青果学院解：（1）连接OM，
∵点M是
AB
的中点，
∴OM⊥AB，
过点O作OD⊥MN于点D，
由垂径定理，得MD=
1
2
MN=2
3
，
在Rt△ODM中，OM=4，MD=2
3
，
∴OD=
OM2-MD2
=2，
故圆心O到弦MN的距离为2cm；

（2）cos∠OMD=
MD
OM
=
3
2
，
∴∠OMD=30°，青果学院
∵M为弧AB中点，OM过O，
∴AB⊥OM，
∴∠MPC=90°，
∴∠ACM=60°．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
（1）连接OM，作OD⊥MN于D．根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）根据（1）中的直角三角形的边求得∠M的度数．再根据垂径定理的推论发现OM⊥AB，即可解决问题．
此题要能够熟练运用垂径定理和勾股定理．
计算题．
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