试题

题目：
（2005·泰安）某“研究性学习小组”遇到了以下问题，请参与：
已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取
AB
上异于A、B的点M．设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N．
青果学院青果学院青果学院青果学院
（1）如图1，图2，图3，M分别为
AB
的中点、三分之一点、四分之一点，△ABC的边长均为2，分别测量出AK、BN的长，计算AK·BN的值（精确到0.01）并将结果填入下表中：
  △ABC的边长  AK·BN的值 
 图1 2   
 图2  2  
 图3  2  
（2）如图4，当M为
AB
上任意一点时，根据（1）的结果，猜想AK·BN与AB的数量关系式为
AK·BN=AB2
AK·BN=AB2
；
（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明．
答案
AK·BN=AB2

青果学院解：（1）4，4，4

（2）AK·BN=AB2

（3）∵∠ABM+∠BAM=∠AMK=∠C=60°，∠BAM+∠N=60°
∴∠ABM=∠N
∵∠KAB=∠NBA=120°
∴△AKB∽△BAN
∴
AK
AB
=
AB
BN

∴AK·BN=AB2．
考点梳理
圆周角定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
本题要求的实际是AK、BN与等边三角形ABC边长的关系．可通过证△AKB与△BAN相似来求解．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识点．根据圆周角定理得出角相等从而证得三角形相似是解题的关键．
综合题；压轴题．
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