试题

题目：
青果学院（2005·芜湖）如图，已知在半圆AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2
3
，求AD的长度．
答案
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，∴弧BC的度数=
1
2
弧AC的度数；
∵AD=DC，
∴弧AD的度数=弧DC的度数=
1
2
弧AC的度数，∴弧BC的度数=弧AD的度数；
∴BC=AD．
在Rt△ABC中
∵∠CAB=30°，AC=2
3
且BC=AC·tan∠CAB，
∴BC=2
3
×tan30°=2．
∴AD=2．
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，∴弧BC的度数=
1
2
弧AC的度数；
∵AD=DC，
∴弧AD的度数=弧DC的度数=
1
2
弧AC的度数，∴弧BC的度数=弧AD的度数；
∴BC=AD．
在Rt△ABC中
∵∠CAB=30°，AC=2
3
且BC=AC·tan∠CAB，
∴BC=2
3
×tan30°=2．
∴AD=2．
考点梳理
圆周角定理；解直角三角形．
易求得∠B=60°，由于AD=CD，即D是弧AC的中点；那么弧AD、弧CD、弧BC所对的圆周角都是30°，即C、D半圆AB的三点分点，因此BC=AD；在Rt△ABC中，易求得BC的长，也就能求出AD的长度．
此题综合考查了学生对圆周角定理及解直角三角形的掌握情况．
计算题．
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